\section{附录\thesection: 商空间}\label{00C}

\begin{frame}{商空间}
设$V$是向量空间，$W$是其子空间。$v,u\in V$称为模$W$ \emph{同余} (congruent)，若$u-v\in W$, 记为$u\equiv v\,(\mod W)$. 
与$v$模$W$同余的向量构成的集合记为
\[
  \bar{v}=v+W\coloneq \{v+w\mid w\in W\}. 
\]
这个称为模$W$的一个\emph{同余类} (congruent class),
$v$是此同余类的一个代表元。我们有$u\in v+W$当且仅当$u-v\in W$当且仅当$\bar{u}=\bar{v}$. 
模$W$同余是等价关系，从而$V$被划分成等价类的无交并。记所有的同余类的集合为
$V/W$. 

\begin{proposition} 设$W$是向量空间$V$的子空间。
  \begin{enumerate}
      \item $V$模$W$的同余类的集合$V/W$上如下定义的加法和标量乘法是良定义的，
        且定义了$V/W$上的向量空间结构（称为\emph{商空间} (quotient space)）：
    \[
      \begin{aligned}
        \bar{v}+\bar{u}&\coloneq \overline{v+u}&&\qquad \text{即~}(v+W)+(u+W)\coloneq (v+u)+W,\\
        a\bar{v}&\coloneq \overline{av} && \qquad \text{即~}a(v+W)\coloneq av+W.
      \end{aligned}
    \]
\item 设$V$有限维，$(v_1, \cdots, v_r)$是$W$的基，此基扩充成$V$的基为$(v_1, \cdots, v_r, v_{r+1}, \cdots, v_n)$.
    那么$(\bar{v}_{r+1}, \cdots, \bar{v}_n)$为$V/W$的基。特别地，$\dim V/W=\dim V-\dim W$.
  \item 典范映射$\varphi_W\colon V\rightarrow V/W, v\mapsto \bar{v}$是线性满射，且$\ker \varphi_W=W$.
\end{enumerate}
  \label{107}

\end{proposition}

这个证明不困难，想了解的话可以自己看看~\cite[定理5.7]{ZX98}. 我想强调的是商这种构造。
\end{frame}



